已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.x-10245f(x)12021下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)在[0,1]

题目简介

已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.x-10245f(x)12021下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)在[0,1]

题目详情

已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.
x-10245
f(x)12021
下列关于函数f(x)的命题:
①函数f(x)在[0,1]上是减函数;
②如果当x∈[-1,t]时,f(x)最大值是2,那么t的最大值为4;
③函数y=f(x)-a有4个零点,则1≤a<2;
④已知(a,b)是y=
2012
f(x)
的一个单调递减区间,则b-a的最大值为2.
其中真命题的个数是(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

由导数图象可知,
当-1<x<0或1<x<4时,f'(x)>0,函数单调递增,
当0<x<1或4<x<5,f'(x)<0,函数单调递减,所以①正确;
当x=0和x=4,函数取得最大值f(0)=2,f(4)=2,
当x∈[-1,t]时,f(x)最大值是2,那么t的最大值为5,故②不正确;
由f(-1)=f(5)=1,结合函数的单调性,
可得若y=f(x)-a有4个零点,则1≤a<2,故③正确;
y=class="stub"2012
f(x)
的单调性与y=f(x)的单调性相反,
结合y=class="stub"2012
f(x)
的定义域为[-1,a)∪(a,2)∪(2,5],其中a∈(0,1)
y=class="stub"2012
f(x)
在(-1,0),(a,2),(2,4)上为减函数,
故(a,b)是y=class="stub"2012
f(x)
的一个单调递减区间,则b-a的最大值为2,故④正确
故四个命题中有3个为真命题
故选B

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