已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；（2）求证：an+1-bn+1＜；（3）是否存在常数C>0，使得对任
已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；（2）求证：an+1-bn+1＜；（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。
题目简介
已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；（2）求证：an+1-bn+1＜；（3）是否存在常数C>0，使得对任
题目详情
已知a，b为两个正数，且a>b，设![]()
，当n≥2，n∈N*时，![]()
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；
（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
（2）求证：an+1-bn+1＜
（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。
答案
由a≠b，可知
同理，
可知对任意n∈N*，an>bn
所以数列{an}是递减数列
所以数列{bn}是递增数列。
（2）证明：
（3）由
可得
若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，
则对任意n∈N*，
即
即
设[x]表示不超过x的最大整数，
则有
即当
与
所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C。