如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小；（3）求直线AB1与平面A1

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值。

题型：解答题难度：中档来源：模拟题

答案

解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，
∵D为AC中点，
∴PD∥B1C，
又∵PD平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD；
（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，
∴A1D⊥BD，
∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角，
∵AA1=，AD=AC=1，
∴tan∠A1DA=，
∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是；
（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足，
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AM平面A1ACC1，
∴BD⊥AM，
∵A1D∩BD=D，
∴AM⊥平面A1DB，连接MP，
则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角，
∵AA1=，AD=1，
∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，
∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=，
∴sin∠APM=，
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为。

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如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小；（3）求直线AB1与平面A1

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