如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2(1)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA平面MQB;(2)在(1)的条件下,若

题目简介

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2(1)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA平面MQB;(2)在(1)的条件下,若

题目详情

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,
PA=PD=AD=2
(1)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA平面MQB;
(2)在(1)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
题型:解答题难度:中档来源:期末题

答案

解:(1)当t=时,PA平面MQB
下面证明:若PA平面MQB,连AC交BQ于N
由AQBC可得,△ANQ∽△BNC,

PA平面MQB,PA平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,
∴PAMN
  
即:PM=PC
∴t=
(2)由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,则PQ⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
所以PQ⊥平面ABCD,
连BD,四边形ABCD为菱形,
∵AD=AB,∠BAD=60° △ABD为正三角形,Q为AD中点,
∴AD⊥BQ
以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为A(1,0,0),B(0,,0),Q(0,0,0),P(0,0,
设平面MQB的法向量为
可得
而PAMN

取z=1,解得
取平面ABCD的法向量
设所求二面角为θ,则
故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°

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