如图,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求证:CD⊥平面PAC.-数学

题目简介

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求证:CD⊥平面PAC.-数学

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如图,梯形ABCD中,ADBC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求证:CE平面PAB;
(2)求证:CD⊥平面PAC.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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(1)取PA的中点F,连结EF,BF,在△PAD中,E是PD的中点,AD=2,
所以EFAD,EF=class="stub"1
2
AD=1

又因为ADBC,BC=1,
所以四边形BCEF为平行四边形,
所以CEBF.
又因为CF?平面PAB,BE?平面PAB,
所以CE平面PAB.
(2)梯形ABCD中,ADBC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=AD=2
所以解得AC=
2
,取AD的中点G,连结CG,则AG=GD=1,
所以四边形ABCG是矩形,CG=AB=1.
Rt△CGD中,CD=
2

在三角形ACD中,AC2+CD2=AD2,
所以∠ACD=90°,即CD⊥AC.
又因为PA⊥面ABCD,CD?面ABCD,
所以PA⊥CD,
又PA?面PAC,AC?面PAC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.

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