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> 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q
题目简介
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q
题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为
的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=
,M,N分别为PB,PD的中点。
(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值
题型:解答题
难度:中档
来源:浙江省高考真题
答案
解:(Ⅰ)如图连接BD
∵M,N分别为PB,PD的中点,
∴在
PBD中,MN∥BD
又MN
平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,
),M(
,
,0),N(
,0,0),C(
,3,0)
设Q(x,y,z),
则
∵
,
∴
由
,得:
即:
对于平面AMN:设其法向量为
∵
则
.
∴
同理对于平面AMN得其法向量为
记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为
,
则
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为
。
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即:
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