如图，正四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，O为底面对角线交点，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC
题目简介
如图，正四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，O为底面对角线交点，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC
题目详情
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
答案
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD且O为AC的中点，
又∵SA=SC，
∴SO⊥AC，
又
∴AC⊥平面SBD，
又
∴AC⊥SD。
（Ⅱ）连接OP，
∴OP⊥SD，
又△SBD中，
∴BF⊥SD，
因为
所以OP∥BF，
又
∴BF∥平面PAC。
（Ⅲ）解：存在E，使得BE∥平面PAC；
过F作FE∥PC交PC于E，连接BE，则E为所要求点，
∵FE∥PC，
∴FE∥平面PAC，
由（Ⅱ）知：BF∥平面PAC，而FE∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PAC，
∴BE∥平面PAC，
∵OP∥BF，O为BD的中点，
∴P为FD的中点，
又因为F为SD的中点，
∴
所以，在侧棱SC上存在点E，
当SE：EC=2：1时，BE∥平面PAC。