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如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;(
题目简介
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;(
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如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求二面角B-DE-C的大小.
题型:解答题
难度:中档
来源:安徽省高考真题
答案
(Ⅰ)证明:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,
连EG,GH,又H为BC的中点,
∴
,
又
,
∴
,
∴四边形EFHC为平行四边形,
∴EC∥FH,而EG
平面EDB,
∴FH∥平面EDB。
(Ⅱ)证明:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,
又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,
∴EF⊥平面BFC,
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,
又BF=FC,H为BC的中点,
∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,
又FH∥EG,∴AC⊥EG,
又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴AC⊥平面EDB。
(Ⅲ)解:EF⊥FB,∠BFC=90°,
∴BF⊥平面CDEF,在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K,
则∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角,
设EF=1,则AB=2,FC=
,DE=
,
又EF∥DC,
∴∠KEF=∠EDC,
∴
,
∴
,
∴∠FKB=60°,
∴二面角B-DE-C为60°。
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以下四个命题:①PA、PB是平面α
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连EG,GH,又H为BC的中点,
∴
又
∴
∴四边形EFHC为平行四边形,
∴EC∥FH,而EG
∴FH∥平面EDB。
(Ⅱ)证明:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,
又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,
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∴
∴
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