如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，（1）求证：C1D∥平面ABB1A1；（2）求二面角D-A1C1-A的余弦值。-高三数学

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如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，
（1）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

题型：解答题难度：中档来源：贵州省模拟题

答案

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又A1D⊥平面ABCD，如图，以D为原点建立空间直角体系
D-xyz，
在△ADA1中，由已知得A1D=，
∴D(0，0，0)，A1(0，0，)，A(1，0，0)，
C1(-1，1，)，
B1(0，1，)，D1(-1，0，)，B(1，1，0)，
∴=(1，-1，)，
设平面ABB1A1的法向量为m=(x1，y1，z1)，
，
∴C1D平面ABB1A1，
∴C1D∥平面ABB1A1；
（2）设平面A1C1A的法向量为=(x2，y2，z2)，
由，
又平面A1C1D的法向量为=(1，1，0)，
设二面角D-A1C1-A的大小为α，
∴cosα==，
∴二面角D-A1C1-A的余弦值为。

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如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，（1）求证：C1D∥平面ABB1A1；（2）求二面角D-A1C1-A的余弦值。-高三数学

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