如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE。-高三数学

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE。-高三数学

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点,
求证:(1)AE∥平面PBC;
(2)PD⊥平面ACE。
题型:证明题难度:中档来源:湖南省模拟题

答案

(1)如图,取PC中点F,连接EF,BF,
∵E为PD的中点,
∴EF∥DC且EF=DC,
∵AB∥DC且AB=DC,
∴EF∥AB 且EF=AB,
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴AE∥BF,
∵AE平面PBC,BF平面PBC,
∴AE∥平面PBC。

(2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,PB∩BD=B,
∴AC⊥平面PBD,
∵PD平面PBD,
∴AC⊥PD,
∵AP=AD,E为PD的中点,
∴PD⊥AE,
∵AE∩AC=A,
∴PD⊥平面ACE。

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