如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点,(1)证明:直线EE1∥平面FCC

题目简介

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点,(1)证明:直线EE1∥平面FCC

题目详情

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点,
(1)证明:直线EE1∥平面FCC1
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:山东省高考真题

答案

(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,
因为AB=4,CD=2,且AB∥CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,
所以CF1∥A1D,
又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,
所以EE1∥A1D,
所以CF1∥EE1,
又因为平面FCC1,平面FCC1,
所以直线EE1∥平面FCC1。
(2)解:因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,
取CF的中点O,则OB⊥CF,
又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,
所以OB⊥平面CC1F,
过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,
则∠OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角,
在△BCF为正三角形中,
在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,


在Rt△OPF中,

所以二面角B-FC1-C的余弦值为

更多内容推荐