如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3,得到三棱锥B-ACD,(Ⅰ)若点M是棱BC的中点,求证:OM∥平面ABD;(Ⅱ)求二面角

题目简介

如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3,得到三棱锥B-ACD,(Ⅰ)若点M是棱BC的中点,求证:OM∥平面ABD;(Ⅱ)求二面角

题目详情

如图,已知菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=
3,得到三棱锥B-ACD,
(Ⅰ)若点M是棱BC的中点,求证:OM∥平面ABD;
(Ⅱ)求二面角A-BD-O的余弦值;
(Ⅲ)设点N是线段BD上一个动点,试确定N点的位置,使得CN=4,并证明你的结论。
题型:解答题难度:中档来源:北京模拟题

答案

(Ⅰ)证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,
所以O是AC的中点,
又点M是棱BC的中点,
所以OM是△ABC的中位线,OM∥AB,
因为平面ABD,平面ABD,
所以OM∥平面ABD。
(Ⅱ)解:由题意,OB=OD=3,
因为,所以∠BOD=90°,OB⊥OD,
又因为菱形ABCD,所以OB⊥AC,OD⊥AC,
建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,

所以
设平面ABD的法向量为(x,y,z),
则有即:
令x=1,则,所以
因为AC⊥OB,AC⊥OD,所以AC⊥平面BOD,
平面BOD的法向量与AC平行,
所以平面BOD的法向量为

因为二面角A-BD-O是锐角,
所以二面角A-BD-O的余弦值为
(Ⅲ)解:因为N是线段BD上一个动点,设

所以

,即
解得
所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2)。

更多内容推荐