已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)。(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面

题目简介

已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)。(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面

题目详情

已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)。
(1)证明BF∥平面ADE;
(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:辽宁省高考真题

答案

解:(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点
∴ED∥FD,且EB=FD,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∴EF∥ED
∵BD平面AED,而BF平面AED
∴BF∥平面AED。
(2)点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过点A用AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD
∵△ACD为正三角形
∴AC=AD,
∴GC=GD,
∴G在CD的垂直平分线上,
又∵EF是CD的垂直平分线,
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。
过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ
设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF
在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,
∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF,
∴AC=
在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,
∴AH=

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