如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(1)证明PA//平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(1)证明PA//平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小。
题型:解答题难度:中档来源:天津高考真题

答案

解:(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点
中,EO是中位线,
∴PA // EO
平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB 。
(2)∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,

∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
。 ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC。
平面PDC,
。 ②
由①和②推得平面PBC。
平面PBC,


所以PB⊥平面EFD。
(3)由(2)知,,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角。
由(2)知,
设正方形ABCD的边长为a,则
 ,
中,
中,sin∠EFD=
∴∠EFD=
所以,二面角C-PB-D的大小为

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