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> 如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。(1)求证:A1
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。(1)求证:A1
题目简介
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。(1)求证:A1
题目详情
如图,在六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为1的正方形,DD
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
,DD
1
⊥平面ABCD,DD
1
=2。
(1)求证:A
1
C
1
与AC共面,B
1
D
1
与BD共面;
(2)求证:平面A
1
ACC
1
⊥平面B
1
BDD
1
;
(3)求二面角A-BB
1
-C的大小(用反三角函数值表示)。
题型:解答题
难度:中档
来源:安徽省高考真题
答案
解:(1)∵
平面
,
平面
∴
,
平面
平面
于是
,
设
分别为
的中点,连结
,
有
∴
,
于是
由
,得
,
故
,
与
共面
过点
作
平面
于点O,
则
,连结
,
于是
,
,
∴
∵
,
∴
∵
,
∴
所以点O在BD上,故
与
共面。
(2)证明:∵
平面
,
∴
,
又
(正方形的对角线互相垂直),
与
是平面
内的两条相交直线,
∴
平面
又平面
过AC,
∴平面
平面
。
(3)∵直线
是直线
在平面
上的射影,
,
根据三垂线定理,有
过点A在平面
内作
于
,连结
,
则
平面
,
于是
,
所以,
是二面角
的一个平面角
根据勾股定理,有
∵
,有
,
,
,
,
,
二面角
的大小为
。
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答案
∴
平面
于是
设
有
∴
于是
由
故
过点
则
于是
∴
∵
∴
∵
∴
所以点O在BD上,故
∴
又
∴
又平面
∴平面
(3)∵直线
根据三垂线定理,有
过点A在平面
则
于是
所以,
根据勾股定理,有
∵
二面角