如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(Ⅰ)求证:BF∥平面A′D

题目简介

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(Ⅰ)求证:BF∥平面A′D

题目详情

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;
(Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:浙江省高考真题

答案

(Ⅰ)证明:取A'D的中点G,连结GF,GE,
由条件易知
所以FC∥BE,FG=BE,
故四边形BEGF为平行四边形,
所以BF∥EG,
因为EG平面A′DE,BF平面A′DE,
所以BF∥平面A′DE。
(Ⅱ)在平行四边形ABCD中,设BC=a,
则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连结CE,
因为∠ABC=120°,
在△BCE中,可得CE=a,
在△ADE中,可得DE=a,
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中,M为DE中点,所以A′M⊥DE,
由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE,
取A′E的中点N,连结NM,NF,
所以NF⊥DE,NF⊥A′M,
因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角,
在Rt△FMN中,

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为

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