如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．(Ⅰ)求证：C1D∥平面ABB1A1；(Ⅱ)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；

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如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
(Ⅰ)求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

题型：解答题难度：中档来源：北京模拟题

答案

(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，
又CC1面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1，
ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1，
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1，
所以，C1D∥半面ABB1A1。

(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
在△ADA1中，由已知可得A1D=，
所以，D(0，0，0)， A1(0，0，)，A(1，0，0)，C1（-1，1，），
B1(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，，
因为A1D⊥平面ABCD，
所以，A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1，
又B1D1⊥A1C1，
所以，B1D1⊥平面A1C1D，
所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1，1，0)，
设与n所成的角为β，
则，
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为。
(Ⅲ)解：设平面A1C1A的法向量为m=（a，b，c），
则，
所以，，
令，可得，
设二面角D-A1C1-A的大小为α，
则，
所以，二面角D-A1C1-A的余弦值为。

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如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．(Ⅰ)求证：C1D∥平面ABB1A1；(Ⅱ)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；

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