如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD==1,现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图

题目简介

如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD==1,现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图

题目详情

如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD==1,现以AD 为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2。
(1)求证:AM∥平面BEC;
(2)求证:BC⊥平面BDE;
(3)求点D到平面BEC的距离。
题型:解答题难度:中档来源:广东省模拟题

答案

解:(1)证明:取EC中点N,连接MN,BN
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN
由已知AB∥CD,
所以MN∥AB,且MN=AB
所以四边形ABNM为平行四边形,
所以BN∥AM
又因为BN平面BEC,且AM平面BEC,
 所以AM∥平面BEC。
(2)证明:在正方形ADEF中,ED⊥AD
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD
所以ED⊥BC
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得
在△BCD中,BD=BC=,CD=2,
所以BD2+BC2=CD2
所以BC⊥BD
所以BC⊥平面BDE。
(3)由(2)知,BC⊥平面BDE
又因为BC平面BCE,
所以平面BDE⊥平面BEC
过点D作EB的垂线交EB于点G,则DG⊥平面BEC,
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度,
在直角三角形BDE中,
所以
所以点D到平面BEC的距离等于

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