如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.-数学

题目简介

如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.-数学

题目详情

如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.
(1)求证:DF平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


360优课网
证明:(1)取AB的中点G,连接FG,可得FGAE,FG=class="stub"1
2
AE,
又CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,
∴CDAE,CD=class="stub"1
2
AE,
∴FGCD,FG=CD,
∵FG⊥平面ABC,
∴四边形CDFG是矩形,DFCG,
CG?平面ABC,DF?平面ABC,
∴DF平面ABC.

(2)Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,
F为BE中点,∴AF⊥BE,
∵△ABC是正三角形,∴CG⊥AB,
∴DF⊥AB,
又DF⊥FG,
∴DF⊥平面ABE,DF⊥AF,
∴AF⊥平面BDF,∴AF⊥BD.

更多内容推荐