在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).(1)求证:BF平面

题目简介

在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).(1)求证:BF平面

题目详情

在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).
(1)求证:BF平面ACD;
(2)求多面体ADFCBE的体积.
题型:解答题难度:中档来源:福建省月考题

答案

解:(1)证明:直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,
E为AB中点,EFCD,垂足为F,
BCFE为正方形.
设BF和CE的交点为O,则O是正方形BCFE的中心.
再由平面ADFE垂直于平面FEBC,可得AE和DF都垂直于平面BCFE.
取AC得中点为H,则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半,
故OH平行且等于DF,
故四边形OHDF为矩形,
故OF平行于DH.
再由DH平面ACD,OF不在平面ACD内,
故OF平面ACD,
即BF平面ACD.
(2)把多面体ADFCBE分成两个棱锥:三棱锥A﹣BCE 和四棱锥C﹣AEFD,
由题意可得CF平面AEFD,AE平面BCFE.
VA﹣BCE=S△BCEAE=
VC﹣AEFD=SAEFDCF=
故多面体ADFCBE的体积为 VA﹣BCE+VC﹣AEFD=+2=

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