如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2,M是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1M;(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣M的大小;(Ⅲ)求点C1到平面AB1M的距

题目简介

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2,M是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1M;(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣M的大小;(Ⅲ)求点C1到平面AB1M的距

题目详情

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2,M是BC的中点.
(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1M;
(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣M的大小;
(Ⅲ)求点C1到平面AB1M的距离.
题型:解答题难度:中档来源:四川省模拟题

答案

(I)证明:连接A1B,交AB1于O,连接OM
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1,所以O是A1B的中点。
因为O,M分别是A1B和BC的中点,所以OM∥A1C。
因为A1C面AB1M,OM面AB1M
所以A1C∥面AB1M
(Ⅱ)解:过点M作MN⊥AB于N,连接ON
∵平面ABC⊥平面ABB1A1,
∴MN⊥平面ABB1A1,可知ON是OM在平面ABB1A1内的射影
又O是A1B的中点,则OM⊥A1B,
∴AB1⊥ON
故∠MON是二面角B﹣AB1﹣M的平面角
∵CA=2,
,AB1=2

在直角△OMN中,
∴二面角B﹣AB1﹣M的大小为30°;
(Ⅲ)解:设点C1到平面AB1M的距离为d,由=

∴点C1到平面AB1M的距离为

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