若函数f(x)在给定区间M上,存在正数t,使得对于任意x∈M,有x+t∈M,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的t级类增函数,则以下命题正确的是()A.函数f(x)=4x+x是(1,+∞)上

题目简介

若函数f(x)在给定区间M上,存在正数t,使得对于任意x∈M,有x+t∈M,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的t级类增函数,则以下命题正确的是()A.函数f(x)=4x+x是(1,+∞)上

题目详情

若函数f(x)在给定区间M上,存在正数t,使得对于任意x∈M,有x+t∈M,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的t级类增函数,则以下命题正确的是(  )
A.函数f(x)=
4
x
+x是(1,+∞)
上的1级类增函数
B.函数f(x)=|log2(x-1)|是(1,+∞)上的1级类增函数
C.若函数f(x)=sinx+ax为[
π
2
,+∞)
上的
π
3
级类增函数,则实数a的最小值为2
D.若函数f(x)=x2-3x为[1,+∞)上的t级类增函数,则实数t的取值范围为[1,+∞)
题型:单选题难度:中档来源:成都模拟

答案

∵f(x)=class="stub"4
x
+x

∴f(x+1)-f(x)=class="stub"4
x+1
+x+1-class="stub"4
x
-x

=class="stub"4
x+1
-class="stub"4
x
+1
≥0在(1,+∞)上不成立,
故A不正确;
∵f(x)=|log2(x-1)|,
∴f(x+1)-f(x)=|log2x|-|log2(x-1)|≥0在(1,+∞)上不成立,
故B不正确;
∵函数f(x)=sinx+ax为[class="stub"π
2
,+∞)上的class="stub"π
3
级类增函数,
∴sin(x+class="stub"π
3
)+a(x+class="stub"π
3
)≥sinx+ax,
∴sinxcosclass="stub"π
3
+cosxsinclass="stub"π
3
+ax+class="stub"π
3
a≥sinx+ax,
3
2
cosx
+class="stub"π
3
a
class="stub"1
2
sinx,
当x=class="stub"π
2
时,class="stub"π
3
a
class="stub"1
2
,a≥class="stub"3

∴实数a的最小值不为2,故C不正确;
∵f(x)=x2-3x为[1,+∞)上的t级类增函数,
∴(x+t)2-3(x+t)≥x2-3x,
∴2tx+t2-3t≥0,
t≥3-2x∈[1,+∞),
故D成立.
故选D.

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