首页 > 定义平面向量的一种运算：a⊗b=|a|•|b|sin＜a，b＞，则下列命题：①a⊗b=b⊗a；②λ（a⊗b）=（λa）⊗b；③（a+b）⊗c=（a⊗c）+（b⊗c）；④若a=（x1，y1），b=（x2

定义平面向量的一种运算：a⊗b=|a|•|b|sin＜a，b＞，则下列命题：①a⊗b=b⊗a；②λ（a⊗b）=（λa）⊗b；③（a+b）⊗c=（a⊗c）+（b⊗c）；④若a=（x1，y1），b=（x2

题目简介

定义平面向量的一种运算：a⊗b=|a|•|b|sin＜a，b＞，则下列命题：①a⊗b=b⊗a；②λ（a⊗b）=（λa）⊗b；③（a+b）⊗c=（a⊗c）+（b⊗c）；④若a=（x1，y1），b=（x2

题目详情

定义平面向量的一种运算：
a
⊗
b
=|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，则下列命题：
①
a
⊗
b
=
b
⊗
a
；
②λ（
a
⊗
b
）=（λ
a
）⊗
b
；
③（
a
+
b
）⊗
c
=（
a
⊗
c
）+（
b
⊗
c
）；
④若
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则
a
⊗
b
=|x1y2-x2y1|．
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）．
题型：填空题难度：中档来源：滨州一模

答案

①由于
a
⊗
b
=|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，则
b
⊗
a
=|
b
|•|
a
|sin＜
b
，
a
＞=|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞=
a
⊗
b
，故①正确；
②由于
a
⊗
b
=|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，
当λ＞0时，λ（
a
⊗
b
）=λ|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，
（λ
a
）⊗
b
=|λ
a
|•|
b
|sin＜λ
a
，
b
＞=λ|
a
|•|
b
|sin＜λ
a
，
b
＞=λ|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，故λ（
a
⊗
b
）=（λ
a
）⊗
b

当λ=0时，λ（
a
⊗
b
）=0=（λ
a
）⊗
b
，故λ（
a
⊗
b
）=（λ
a
）⊗
b

当λ＜0时，λ（
a
⊗
b
）=λ|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞
（λ
a
）⊗
b
=|λ
a
|•|
b
|sin＜λ
a
，
b
＞=-λ|
a
|•|
b
|sin＜λ
a
，
b
＞=-λ|
a
|•|
b
|×（-sin＜
a
，
b
＞）=λ|
a
|•|
b
|sin＜
a
，
b
＞，故λ（
a
⊗
b
）=（λ
a
）⊗
b

故②正确；
③类比数量积的类似性质可证，③正确；
④令
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则|
a
|=
x12+y12
，|
b
|=
x22+y22
，
则cos＜
a
，
b
＞=
x1x2+y1y2
x12+y12
•
x22+y22
，
即有sin＜
a
，
b
＞=
|x1y2-x2y1| 
x12+y12
•
x22+y22
 
 
a
⊗
b
=
x12+y12
×
x22+y22
×
|x1y2-x2y1| 
x12+y12
•
x22+y22
 
=|x1y2-x2y1|，故④正确
故答案为：①②③④．

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