f(x)=x1+|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x1≠x2则一定有f（x1）≠f（x2）；丙：若规定f1(x)=f(x)，f

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f(x)=

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若规定f1( x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)=

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有______．

题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

函数f(x)=class="stub"x

1+|x|

(x∈R)，故函数是一个奇函数，先研究（0，+∞）上的性质
当x∈（0，+∞）时，f(x)=class="stub"x

1+x

(x∈R +)即f(x)=1-class="stub"1

1+x

(x∈R +)，函数在（0，+∞）上是增函数用值域为（0，1）
由奇函数的定义知函数在（-∞，0）上是增函数且值域为（-1，0），又f（0）=0故函数在R上的值域是（-1，1），且在R上是增函数，由此知甲乙两命题是正确的．
对于丙，f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x））对任意的n∈N*都成立，有f1（x）=f（x）=class="stub"x

1+|x|

(x∈R)，
f2（x）=f（f1（x））=class="stub"x

1+2|x|

(x∈R)，f3（x）=f（f2（x））=class="stub"x

1+3|x|

(x∈R)…fn（x）=f（fn-1（x））=class="stub"x

1+n|x|

(x∈R)故丙也是正确的．
综上，三个命题都是正确的
故应填3．

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f(x)=x1+|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x1≠x2则一定有f（x1）≠f（x2）；丙：若规定f1(x)=f(x)，f

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