以下命题正确的个数为()①若a2+b2=8,则ab的最大值为4;②若a>0,b>0,且a+b=4,则1a+1b的最小值为1;③若x∈R,则x+4x-2的最小值为6;④若x>0,y>0,且4x+y=1,

题目简介

以下命题正确的个数为()①若a2+b2=8,则ab的最大值为4;②若a>0,b>0,且a+b=4,则1a+1b的最小值为1;③若x∈R,则x+4x-2的最小值为6;④若x>0,y>0,且4x+y=1,

题目详情

以下命题正确的个数为(  )
①若a2+b2=8,则ab的最大值为4;
②若a>0,b>0,且a+b=4,则
1
a
+
1
b
的最小值为1;
③若x∈R,则x+
4
x-2
的最小值为6;
④若x>0,y>0,且4x+y=1,则xy的最大值为
1
4
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

由①知,a2+b2=8,
∴ab≤
a2+b2
2
=4成立(当且仅当a=b=2或a=b=-2时,取等号),故①正确.
由②知,a+b=4,∴class="stub"a
4
+class="stub"b
4
=1.
class="stub"1
a
+class="stub"1
b
=(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
)(class="stub"a
4
+class="stub"b
4
)
=class="stub"1
4
+class="stub"b
4a
+class="stub"a
4b
+class="stub"1
4

class="stub"1
2
+2
class="stub"b
4a
.class="stub"a
4b
=class="stub"1
2
+class="stub"1
2
=1(当且仅当a=b=2时取等号),故③正确.
由③x∈R,不能保证x-2为正数,此函数没有最小值,判断③不正确;
④:xy=class="stub"1
4
4x•y≤class="stub"1
4
(class="stub"4x+y
2
)
2
=class="stub"1
16
,当且仅当4x=y=class="stub"1
2
时取等号.
则xy的最大值为:class="stub"1
16
.故④不正确.
故正确的有①②.
故选B.

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