首页 > 如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：①当d1

如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：①当d1

题目简介

如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：①当d1

题目详情

如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
①当
d1
d2
=
1
1
时，有EF=
a+b
2
；
当
d1
d2
=
1
2
时，有EF=
a+2b
3
；
当
d1
d2
=
1
3
时，有EF=
a+3b
4
；
当
d1
d2
=
1
4
时，有EF=
a+4b
5
；
②当
d1
d2
=
2
1
时，有EF=
2a+b
3
；当
d1
d2
=
3
1
时，有EF=
3a+b
4
；
当
d1
d2
=
4
1
时，有EF=
4a+b
5
；当
d1
d2
=
5
1
时，有EF=
5a+b
6
．
根据以上结论，解答下列问题：
（1）猜想当
d1
d2
=
1
n
和
d1
d2
=
m
1
时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）？
（2）进一步猜想当
d1
d2
=
m
n
时，有何结论（其中m、n均为正整数）？并证明你的结论；
（3）如图b，有一块梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取两点E、F，使DE=200米，EF=150米，分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠，直到另一腰，求这两条水渠的总长度．

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题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（1）当
d1
d2
=class="stub"1
n
时，EF=class="stub"a+nb
n+1
；
当
d1
d2
=class="stub"m
1
时，EF=class="stub"ma+b
m+1
．

（2）当
d1
d2
=class="stub"m
n
时，EF=class="stub"ma+nb
m+n
．
证明：延长AD、BC交于G，设△DCG在BC边上的高为h，则由三角形相似得：
class="stub"b
EF
=class="stub"h
h+m
class="stub"b
a
=class="stub"h
h+m+n
从上述关于h，EF的方程组中易求得EF=class="stub"ma+nb
m+n
．

（3）由于过点E平行于两底的水渠到两底的距离比等于2：3，由（2）中的结论可得：
水渠长=class="stub"2BC+3AD
2+3
=180（米）
由于过点F平行于两底的水渠到两底的距离比等于7：3，由（2）中的结论可得：
水渠长=class="stub"7BC+3AD
7+3
=240（米）
故两条水渠的总长度是180+240=420（米）．

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