首页 > 如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重-数学

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重-数学

题目简介

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重-数学

题目详情

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3．
（1）试判断S1，S2的关系，并加以证明；
（2）当S3：S2=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4？若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）S1=S2；
证明：∵FE⊥y轴，FG⊥x轴，∠BAD=90°，
∴四边形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S△AEF=S△AFG，
同理S△ABC=S△ACD．
∴S△ABC-S△AEF=S△ACD-S△AFG．
即S1=S2．

（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．
∴
S3
S3+S2
=(class="stub"FG
CD
)2=(class="stub"AG
AD
)2=class="stub"1
1+3
=class="stub"1
4
．
∴FG=class="stub"1
2
CD，AG=class="stub"1
2
AD．
∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的，且A′、F′两点始终在直线AC上，
∴点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动．
∵直线AC的解析式是y=class="stub"3
4
x，
∴直线L的解析式是y=class="stub"3
4
x+3．
设点E′为（x，y），
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．
①当x、y为同号时，得
y=class="stub"5
4
x
y=class="stub"3
4
x+3
解得
x=6
y=7.5
，
∴E′（6，class="stub"15
2
）；
②当x、y为异号时，得
y=-class="stub"5
4
x
y=class="stub"3
4
x+3
解得
x=-class="stub"3
2
y=class="stub"15
8
，
∴E′（-class="stub"3
2
，class="stub"15
8
）．
∴存在满足条件的E′坐标分别是（6，class="stub"15
2
）、（-class="stub"3
2
，class="stub"15
8
）．

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