首页 > （1）求证方程x3-(2+1)x2+(2-Q)x+Q=0的一个根是1，（2）设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度数以及Q的值．-数学

（1）求证方程x3-(2+1)x2+(2-Q)x+Q=0的一个根是1，（2）设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度数以及Q的值．-数学

题目简介

（1）求证方程x3-(2+1)x2+(2-Q)x+Q=0的一个根是1，（2）设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度数以及Q的值．-数学

题目详情

（1）求证方程x3-(
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+1)x2+(
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-Q)x+Q=0的一个根是1，
（2）设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度数以及Q的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）将x=1代入这个方程式，
则13-(
2
+1)•12+(
2
-Q)•1+Q=0，
故知1是原方程的一个根．
（2）由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除．
用x-1除方程左边后得商式x2-
2
x-Q=0.
根据题设条件（即有一个根为1，不妨设sinC=1）及根与系数的关系可得
sinC=1(1)
sinA+sinB=
2
(2)
sinA•sinB=-Q(3)

由（1）可知C=90°，于是A+B=90°，B=90°-A，代入（2）得sinA+sin（90°-A）=
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，即sinA+cosA=
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，
∴
2
2
sinA+
2
2
cosA=1，sin45°•sinA+cos45°•cosA=1，cos（A-45°）=1，
∴A-45°=0，∴A=45°
B=90°-45°=45°
从（3）式可得Q=-sinA•sinB=-
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•
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