如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．-数学

题目简介

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且

AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：连接OC．（1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．（2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．（3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．（4分）
∴

．
∴DC=BC．（5分）

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=

AB2-AC2

52-42

=3．（6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．（7分）
∴class="stub"EC

=class="stub"AC

．
∴class="stub"EC

=class="stub"4

EC=class="stub"12

．（8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=

DC2-CE2

32-(class="stub"12

=class="stub"9

．（9分）
∴tan∠DCE=class="stub"ED

class="stub"9

class="stub"12

=class="stub"3

．（10分）