已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．-数学

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已知函数f(x)=

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞

恒成立，求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得b=class="stub"3

．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=class="stub"2

+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f(x)-a2＞class="stub"2

恒成立，只需f(2)＞a2+class="stub"2

，----（12分）
即class="stub"2

+a＞a2+class="stub"2

，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）

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下一篇 : 已知定义在（-1，1）上的奇函数，并且

已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．-数学

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