若函数y=为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．-高三数学

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若函数y=为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

题型：解答题难度：中档来源：山东省月考题

答案

解：（1）∵函数y=f（x）= 为奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=0
∴ =0
∴ ∴a=﹣
（2）f（x）= ，∴2x﹣1≠0，
∴2x≠1，∴x≠0
∴函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）= 在（﹣∞，0）和（0，+∞）上为增函数
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则2x1＜2x2，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）
=（）﹣（）
= ＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，则﹣x1＞﹣x2＞0，
因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f（﹣x1）＞f（﹣x2），
因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x1）=﹣f（x1），f（﹣x2）=﹣f（x2），
∴﹣f（x1）＞﹣f（x2），∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．

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