如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求二面角E﹣
解:(1)AB∥平面DEF,理由如下如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB,又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF.(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连接EN,则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中,EM=1,MN=∴tan∠MNE=,,∴cos∠MNE=.二面角E﹣DF﹣C的余弦值:. (3)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE证明如下:在线段BC上取点P.使BP= BC,过P作PQ⊥CD于Q,∵AD⊥平面BCD ∴PQ⊥平面ACD ∴DQ=DC=,∴tan∠DAQ=∴=,∴∠DAQ=30°在等边△ADE中,∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE.AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ, ∴AP⊥DE. 此时BP=BC,∴=.
题目简介
如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求二面角E﹣
题目详情
(2)求二面角E﹣DF﹣C的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出
答案
解:(1)AB∥平面DEF,理由如下如图:
平面DEF,EF
平面DEF. ![]()
,
,![]()
.
.
BC,过P作PQ⊥CD于Q,
DC=
,![]()
=
,
BC,
=
.
在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB,
又AB
∴AB∥平面DEF.
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,
这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连接EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=
∴cos∠MNE=
二面角E﹣DF﹣C的余弦值:
(3)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE
证明如下:在线段BC上取点P.使BP=
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=
∴tan∠DAQ=
∴
∴∠DAQ=30°
在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE.
AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ, ∴AP⊥DE.
此时BP=
∴