已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（165x2+1x）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．-高二数学

题目简介

已知（a²+1）ⁿ展开式中各项系数之和等于（

x²+

）⁵的展开式的常数项，而（a²+1）ⁿ的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

由（class="stub"16

x2+class="stub"1

）5得，
Tr+1=C5r（class="stub"16

x2）5-r（class="stub"1

）r=（class="stub"16

）5-r•C5r•xclass="stub"20-5r

．
令Tr+1为常数项，则20-5r=0，
∴r=4，∴常数项T5=C54×class="stub"16

=16．
又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．
由题意得2n=16，∴n=4．
由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴C42a4=54，
∴a=±

．