已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5;(2)求9x2+9y2+z2的最小值.-数学

题目简介

已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5;(2)求9x2+9y2+z2的最小值.-数学

题目详情

已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证:
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5

(2)求9x2+9y2+z2的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
]
≥(5x+4y+3z)2
因为5x+4y+3z=10,所以
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
102
20
=5

(2)根据均值不等式,得9x2+9y2+z2≥2
9x29y2+z2
=2•3x2+y2+z2

当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.
根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,
即  (x2+y2+z2)≥2,当且仅当class="stub"x
5
=class="stub"y
4
=class="stub"z
3
时,等号成立.
综上,9x2+9y2+z2≥2•32=18

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