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设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=______．-数学

题目简介

设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=______．-数学

题目详情

设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
14
，则x+y+z=______．
题型：填空题难度：偏易来源：湖北

答案

根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当class="stub"x
1
=class="stub"y
2
=class="stub"z
3
时，上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合x+2y+3z=
14
，可得x+2y+3z恰好取到最大值
14

∴class="stub"x
1
=class="stub"y
2
=class="stub"z
3
=
14
14
，可得x=
14
14
，y=
14
7
，z=
3
14
14

因此，x+y+z=
14
14
+
14
7
+
3
14
14
=
3
14
7

故答案为：
3
14
7

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