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已知数列{an}中，a1=1，且an=nn-1an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N∗）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=3n-1an（n∈N∗），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较

题目简介

已知数列{an}中，a1=1，且an=nn-1an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N∗）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=3n-1an（n∈N∗），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较

题目详情

已知数列{an}中，a1=1，且an=
n
n-1
an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N∗）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=
3n-1
an
 （n∈N∗），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2与n的大小；
（3）令cn=
an+1
n+1
 （n∈N*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有 Tn＜2．
题型：解答题难度：中档来源：沅江市模拟

答案

（1）由题an=class="stub"n
n-1
an-1+2n×3n-2知，
an
n
=
an-1
n-1
+2×3n-2，
由累加法，当n≥2时，
an
n
-
a1
1
=2+2×3+2×32++2×3n-2
代入a1=1，得n≥2时，
an
n
=1+
2(1-3n-1)
1-3
=3n-1
又a1=1，故an=n•3n-1（n∈N*）．
（2）n∈N*时，bn=
3n-1
an
=class="stub"1
n
．
方法1：当n=1时，S21=1+class="stub"1
2
＞1；当n=2时，S22=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
＞2；
当n=3时，S23=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8
＜3．
猜想当n≥3时，S2n＜n．
下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，由上可知S23 ＜3成立；
②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2k
＜k．
当n=k+1时，左边=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2k
+class="stub"1
2k+1
+…+class="stub"1
2k+1
＜k+class="stub"1
2k+1
+…+class="stub"1
2k+1
＜k+
2k
2k+1
＜k+1，
所以当n=k+1时成立．
由①②可知当n≥3，n∈N*时，S2n＜n．
综上所述：当n=1时，S21＞1；当n=2时，S22＞2；
当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．
方法2：S2n=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n

记函数f(n)=S2n-n=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
)-n
所以f(n+1)=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n+1
)-(n+1)
则f(n+1)-f(n)=(class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+1
)-1＜
2n
2n+1
-1＜0
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+class="stub"1
2
)-1＞0，此时S21＞1；
f(2)=S22-2=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
)-2＞0，此时S22＞2；
f(3)=S23-3=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8
)-3＜0，此时S23＜3；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．
综上所述：当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．
（3）cn=
an+1
n+1
=3n
当n≥2时，
2×3n
(3n-1)2
≤
2×3n
(3n-1)(3n-3)
=
2×3n-1
(3n-1)(3n-1-1)
=class="stub"1
3n-1-1
-class="stub"1
3n-1

所以当n≥2时，Tn=class="stub"3
2
+
2×32
(32-1)2
+…+
2×3n
(3n-1)2
≤class="stub"3
2
+(class="stub"1
2
-class="stub"1
32-1
)+(class="stub"1
32-1
-class="stub"1
33-1
)+…+(class="stub"1
3n-1-1
-class="stub"1
3n-1
)=2-class="stub"1
3n-1
＜2．
且T1=class="stub"3
2
＜2故对n∈N*，Tn＜2得证．

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