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已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．（1）求a3的取值范围；（2）用数学归纳法证明：|an-(2-1)|＜12n（n≥3，n∈N）；（3）若bn=1a

题目简介

已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．（1）求a3的取值范围；（2）用数学归纳法证明：|an-(2-1)|＜12n（n≥3，n∈N）；（3）若bn=1a

题目详情

已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．
（1）求a3的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．
题型：解答题难度：中档来源：武汉模拟

答案

（1）∵a2=class="stub"1
2
(1-a21)，且a1∈（0，1），由二次函数性质可知a2∈（0，class="stub"1
2
）．
∵a3=class="stub"1
2
(1-
a22
)及a2∈(0，class="stub"1
2
)∴a3∈(class="stub"3
8
，class="stub"1
2
)．(3分)
（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，class="stub"3
8
＜a3＜class="stub"1
2
，
则-class="stub"1
8
＜class="stub"3
8
-(
2
-1)＜a3-(
2
-1)＜class="stub"1
2
-(
2
-1)＜class="stub"1
8
，
于是当n=3时，|an-(
2
-1)|＜class="stub"1
2n
成立．
②假设在n=k（k≥3）时，|an-(
2
-1)|＜class="stub"1
2n
（*）成立，即|ak-(
2
-1)|＜class="stub"1
2k
．
则当n=k+1时，|ak+1-(
2
-2)|=|class="stub"1
2
-class="stub"1
2
a2k
-(
2
-1)|=class="stub"1
2
|ak-(
2
-1)|•|ak+
2
-1|，
其中0＜ak+
2
-1＜2(
2
-1)+class="stub"1
2k
＜1(k≥3)
于是|ak+1-(
2
-1)|＜class="stub"1
2
|ak-(
2
-1)|＜class="stub"1
2k+1
，
从而n=k+1时（*）式得证．
综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(
2
-1)|＜class="stub"1
2n
．

（3）由|an-(
2
-1)|＜class="stub"1
2n
(n≥3)变形为：|class="stub"1
2
-1
-class="stub"1
an
|＜class="stub"1
2n
•class="stub"1
(
2
-1)|an|
=
2
+1
2n
•class="stub"1
|an|
，
而由
2
-1-class="stub"1
2n
＜an＜
2
-1+class="stub"1
2n
（n≥3，n∈N）
可知：
2
-1-class="stub"1
8
＜an＜
2
+1+class="stub"1
8
在n≥3上恒成立，
于是class="stub"1
an
＜class="stub"1
2
-1-class="stub"1
8
，
2
+1
an
＜
2
+1
2
-1-class="stub"1
8
＜12，
又∵|an-(
2
-1)|＜class="stub"1
2n
，∴|class="stub"1
an
-(
2
+1)|＜class="stub"12
2n
，
从而原不等式|bn-(
2
+1)|＜class="stub"12
2n
（n≥3，n∈N）得证．（14分）

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