函数y=53x-1+1210-3x的最大值为______.-数学

题目简介

函数y=53x-1+1210-3x的最大值为______.-数学

题目详情

函数y=5
3x-1
+12
10-3x
的最大值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

法一:由柯西不等式,
y=5
3x-1
+12
10-3x
25+144
×
3x-1+10-3x
=
169
×
9
=39
当且仅当5
10-3x
=12
3x-1
,即x=class="stub"294
507
时等号成立
即x=class="stub"294
507
时函数取到最大值39
故答案为39
法二:由题观察到3x-1+10-3x=9,可令
3x-1​
=3cosθ,
10-3x​
=3sinθ

代入函数解析式得y=15cosθ+36sinθ=39(class="stub"5
13
cosθ+class="stub"12
13
sinθ),
令tanα=class="stub"5
12
,则有sinα=class="stub"5
13
,cosα=class="stub"12
13

可得y=15cosθ+36sinθ=39sin(θ+α)
由于
3x-1​
=3cosθ≥0,
10-3x​
=3sinθ≥0
,可得θ∈[0,class="stub"π
2
]
,故可得θ+α可取class="stub"π
2
,所以有y≤39
函数的最大值为39
故答案为39

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