设α,β,γ都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明(1)sin2α+sin2β+sin2γ≥13;(2)tan2α+tan2β+tan2γ≥38.-数学

题目简介

设α,β,γ都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明(1)sin2α+sin2β+sin2γ≥13;(2)tan2α+tan2β+tan2γ≥38.-数学

题目详情

设α,β,γ 都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明
(1)sin2α+sin2β+sin2γ≥
1
3

(2)tan2α+tan2β+tan2 γ≥
3
8
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)由柯西不等式得:(sin2α+sin2β+sin2γ)(1+1+1)≥(1•sinα+1•sinβ+1•sinγ)2,
因为sinα+sinβ+sinγ=1,所以3(sin2α+sin2β+sin2γ)≥1,得:sin2α+sin2β+sin2γ≥class="stub"1
3

(2)由恒等式tan2x=class="stub"1
cos2x
-1
和若a,b,c>0,则class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
class="stub"9
a+b+c

得tan2α+tan2β+tan2 γ=class="stub"1
cos2α
+class="stub"1
cos2β
+class="stub"1
cos2γ
-3≥class="stub"9
cos2α+cos2β+cos2γ
-3.
于是class="stub"9
cos2α+cos2β+cos2γ
=class="stub"9
3-(sin2α+sin2β+sin2γ)
class="stub"9
3-class="stub"1
3
=class="stub"27
8

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥class="stub"27
8
-3=class="stub"3
8

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