在正项等比数列an中,a1<a4=1,若集合A={n|(a1-1a1)+(a2-1a2)+…+(an-1an)≤0,n∈N*},则集合A中元素的个数为______.-数学

题目简介

在正项等比数列an中,a1<a4=1,若集合A={n|(a1-1a1)+(a2-1a2)+…+(an-1an)≤0,n∈N*},则集合A中元素的个数为______.-数学

题目详情

在正项等比数列an中,a1<a4=1,若集合A={n|(a1-
1
a1
)+(a2-
1
a2
)+…+(an-
1
an
)≤0,n∈N*}
,则集合A中元素的个数为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

设公比为q
∵a1<a4=a1q3=1
∴0<a1<1  1<q3  q>1     ①
∴a1=q-3        ②
∴(a1-class="stub"1
a1
)+(a2-class="stub"1
a2
)+…+(an-class="stub"1
an

=(a1+a2+…+an)-(class="stub"1
a1
+class="stub"1
a2
+…+class="stub"1
an
)  (后一个首项class="stub"1
a1
,公比class="stub"1
q

=
a1(qn-1)
q-1
-
class="stub"1
a1
(1-class="stub"1
qn
)
1-class="stub"1
q

=[(qn-1)/a(q-1)qn-1)][a12qn-1-1]
代入②
原式=[qn-1/a(q-1)qn-1]•[qn-7-1]≤0
∵qn-1/a(q-1)qn-1>0
∴qn-7-1≤0
qn-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案为7.

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