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已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=1f′(x)+af′(x)（x≠0）（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求

题目简介

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=1f′(x)+af′(x)（x≠0）（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求

题目详情

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=
1
f′(x)
+af′(x)（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=
2
3
x+
7
6
与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f
x
=ln|x|，
∴当x＞0时，f
x
=lnx，当x＜0时，f
x
=ln
-x
…（1分）
∴当x＞0时，f′
x
=class="stub"1
x
，当x＜0时，f′
x
=class="stub"1
-x
•
-1
=class="stub"1
x
…（2分）
∴当x≠0时，函数y=g
x
=x+class="stub"a
x
…（4分）
（2）∵由（1）知当x＞0时，g
x
=x+class="stub"a
x
，
∴当a＞0，x＞0时，g
x
≥2
a
当且仅当x=
a
时取等号…（6分）
∴函数y=g
x
在
0，+∞
上的最小值是2
a
…（7分）
∴依题意得2
a
=2∴a=1…（8分）
（用导数求最小值参考给分）
（3）根据（2）知a=1，∴g
x
=x+class="stub"1
x
，(x＞0)…（9分）
由
y=class="stub"2
3
x+class="stub"7
6
y=x+class="stub"1
x
解得
x1=class="stub"3
2
y1=class="stub"13
6
，
x2=2
y2=class="stub"5
2
…（10分）
∴直线y=class="stub"2
3
x+class="stub"7
6
与函数y=g
x
的图象所围成图形的面积S=
∫2class="stub"3
2
[
class="stub"2
3
x+class="stub"7
6
-
x+class="stub"1
x
]dx=
∫2class="stub"3
2
(-class="stub"x
3
+class="stub"7
6
-class="stub"1
x
)dx…（11分）
=[-
x2
6
+class="stub"7x
6
-lnx]
.
2
class="stub"3
2

=class="stub"7
24
-ln2+lnclass="stub"3
2
=class="stub"7
24
+ln3-2ln2
．…（14分）．

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