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> 已知F为抛物线C：y=x2的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C上的两点，且x1＜x2．（1）若FA=λFB(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最
已知F为抛物线C：y=x2的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C上的两点，且x1＜x2．（1）若FA=λFB(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最
题目简介
已知F为抛物线C：y=x2的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C上的两点，且x1＜x2．（1）若FA=λFB(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最
题目详情
已知F为抛物线C：y=x
2
的焦点，A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）是抛物线C上的两点，且x
1
＜x
2
．
（1）若
FA
=λ
FB
(λ∈R)，则λ
为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？
（2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为
4
3
，求线段AB的中点M的轨迹方程．
题型：解答题
难度：中档
来源：江苏模拟
答案
（1）由题知，抛物线C的焦点
F(0，
class="stub"1
4
)，A(
x
1
，
x
21
)，B(
x
2
，
x
22
)，所以
FA
=(
x
1
，
x
21
-
class="stub"1
4
)，
FB
=(
x
2
，
x
22
-
class="stub"1
4
)
．
因为
FA
=λ
FB
，所以
FA
=λ
FB
共线，即
x
1
(
x
22
-
class="stub"1
4
)-
x
2
(
x
21
-
class="stub"1
4
)=0
，
即(
x
2
-
x
1
)(
x
1
x
2
+
class="stub"1
4
)=0
．
因为x1＜x2，所以x1x2=-
class="stub"1
4
．（2分）
由题设条件x1＜x2知，直线AB的斜率k一定存在，且
k=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
x
22
-
x
21
x
2
-
x
1
=
x
1
+
x
2
．（3分）
设直线AB的方程为y=kx+
class="stub"1
4
，则直线AB与抛物线C所围的面积
S=
∫
x
2
x
1
(kx+
class="stub"1
4
-
x
2
)dx=(-
class="stub"1
3
x
3
+
class="stub"k
2
•
x
2
+
class="stub"1
4
x)
|
x
2
x
1
=
(-
class="stub"1
3
x
32
+
class="stub"k
2
•
x
22
+
class="stub"1
4
x
2
)-(-
class="stub"1
3
x
31
+
class="stub"k
2
•
x
21
+
class="stub"1
4
x
1
)
=-
class="stub"1
3
(
x
32
-
x
31
)+
class="stub"k
2
(
x
22
-
x
21
)+
class="stub"1
4
(
x
2
-
x
1
)
=
(
x
2
-
x
1
)[-
class="stub"1
3
(
x
22
+
x
2
x
1
+
x
21
)+
class="stub"k
2
(
x
2
+
x
1
)+
class="stub"1
4
]
=
(
x
2
+
x
1
)
2
-4
x
2
x
1
[-
class="stub"1
3
(
x
2
+
x
1
)
2
+
class="stub"1
3
x
2
x
1
+
class="stub"k
2
(
x
2
+
x
1
)+
class="stub"1
4
]
=
k
2
+1
[-
class="stub"1
3
k
2
-
class="stub"1
3
×
class="stub"1
4
+
class="stub"k
2
•k+
class="stub"1
4
]
=
class="stub"1
6
(
k
2
+1)
k
2
+1
≥
class="stub"1
6
，
当且仅当k=0，即x1=-x2，即λ=-1时，Smin=
class="stub"1
6
．（5分）
（2）由题知A（x1，x12），B（x2，x22），且x1＜x2，则直线AB的斜率kAB=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
x
21
-
x
22
x
2
-
x
1
=
x
1
+
x
2
．
设直线AB的方程为y-x12=k（x-x1），即y=（x1+x2）x-x1x2，
则直线AB与抛物线C所围的面积
S=
∫
x
2
x
1
[(
x
1
+
x
2
)x-
x
1
x
2
-
x
2
]dx
=
(
x
1
+
x
2
2
•
x
2
-
x
1
x
2
x-
class="stub"1
3
x
3
)
|
x
2
x
1
=
class="stub"1
6
(
x
2
-
x
1
)
3
，
因为S=
class="stub"4
3
，所以
class="stub"1
6
(
x
2
-
x
1
)
3
=
class="stub"4
3
，得
x
2
-
x
1
=2．（8分）设M（x，y），则x=
x
1
+
x
2
2
=
x
1
+1，
y=
y
1
+
y
2
2
=
x
21
+
x
22
2
=
x
21
+2
x
1
+2=(
x
1
+1
)
2
+1，
所以y=x2+1．
故点M的轨迹方程为y=x2+1．（10分）
上一篇 :
由曲线y=x2与直线y=2x+3所围成
下一篇 :
=[]A.B.C.2D.-高二数学
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下列积分值等于1的是[]A.B.C.D.-高二数学
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等于[]A．1B．e-1C．eD．e+1-高三数学
如图，由两条曲线y=-x2，4y=-x2及直线y=-1所围成的图形的面积为______．-高三数学
设，则[]A.B.C.D.-高二数学
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计算下列定积分。（1）；（2）；（3）。-高二数学
已知t＞1，若∫t1(2x+1)dx=t2，则t=______．-数学
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题目简介
已知F为抛物线C：y=x2的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C上的两点，且x1＜x2．（1）若FA=λFB(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最
题目详情
（1）若
（2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为
答案
因为
x1(
即(x2-x1)(x1x2+
因为x1＜x2，所以x1x2=-
由题设条件x1＜x2知，直线AB的斜率k一定存在，且
k=
设直线AB的方程为y=kx+
S=
=(-
=-
=(x2-x1)[-
=
=
=
当且仅当k=0，即x1=-x2，即λ=-1时，Smin=
（2）由题知A（x1，x12），B（x2，x22），且x1＜x2，则直线AB的斜率kAB=
设直线AB的方程为y-x12=k（x-x1），即y=（x1+x2）x-x1x2，
则直线AB与抛物线C所围的面积
S=
=(
因为S=
y=
所以y=x2+1．
故点M的轨迹方程为y=x2+1．（10分）