首页 > 三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面三个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）

三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面三个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）

题目简介

三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面三个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）

题目详情

三位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
（x∈R） 时，分别给出下面三个结论：
①函数f（x）的值域为 （-1，1）
②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）
③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个结论中正确的个数有______．
题型：填空题难度：中档来源：南汇区二模

答案

函数f(x)=class="stub"x
1+|x|
化为分段函数即函数f(x)=
class="stub"x
1+x
(x≥0)
class="stub"x
1-x
(x＜0)

∵f（-x）=-f（x）
∴函数f(x)=class="stub"x
1+|x|
为奇函数，
∵x≥0时，f（x）=class="stub"x
1+x
=1-class="stub"1
1+x
∈[0，1）
∴函数f（x）的值域为 （-1，1），故①正确
∵x≥0时，f（x）=class="stub"x
1+x
=1-class="stub"1
1+x
为[0，+∞）的单调增函数
∴函数f（x）为R上的单调增函数，
∴若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明：n=1时，命题显然成立；
假设n=k时命题成立，即fk(x)=class="stub"x
1+k|x|

则n=k+1时，fk+1（x）=f（fk（x））=
fk(x)
1+k|fk(x)|
=
class="stub"x
1+k|x|
1+k|class="stub"x
1+k|x|
|
=class="stub"x
1+(k+1)|x|

即n=k+1时命题成立
∴fn(x)=class="stub"x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立
故答案为3

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