已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;(2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;(2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)
(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;
(2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=2x+1,∴x=log2(f(x)-1),∴f-1(x)=log2(x-1) (x>1),
设 m>n>1,f-1(m)-f-1(n)=
logclass="stub"m-1
n-1
2

∵m-1>n-1>0,∴class="stub"m-1
n-1
>1,
logclass="stub"m-1
n-1
2
>0,
∴f-1(m)-f-1(n)>0,f-1(m)>f-1(n),
 f-1(x)在其定义域(1,+∞)内是增函数.

(2)∵f-1(x)≤g(x),
∴log2(x-1)≤log4(3x+1),
log(x-1)24
≤log4(3x+1),
x-1>0  
(x-1)2≤ 3x+1 
,1<x≤5,
∴x的取值集合D=(1,5].

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