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(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称.(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存

题目简介

(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称.(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存

题目详情

(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称.
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数；
(3)设A、B是曲线C2上任意不同两点，证明：直线AB与直线y=x必相交.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）g(x)= ，M={x|x≥0}；（2）略；（3）略
解：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，
∴f－1(x)= (x≥0)，
即C2：g(x)= ，M={x|x≥0}.                                4分
(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0.
∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|.
∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=.                         8分
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线C2上不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2.
由(2)知|kAB|=||=＜＜1.
∴直线AB的斜率kAB≠1.
又∵直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交.                                                      12分

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