已知函数f(x)=(m-1)x+1x,且f(1)=2;①求出函数f(x)的解析表达式,并判断奇偶性;②证明函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=(m-1)x+1x,且f(1)=2;①求出函数f(x)的解析表达式,并判断奇偶性;②证明函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.-数学

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已知函数f(x)=(m-1)x+
1
x
,且f(1)=2;
①求出函数f(x)的解析表达式,并判断奇偶性;
②证明函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①由f(x)=(m-1)x+class="stub"1
x
,且f(1)=2;得m=2,
解析式为f(x)=x+class="stub"1
x
,且(x≠0),由定义域关于原点对称,
f(-x)=-x+class="stub"1
-x
=-(x+class="stub"1
x
)=-f(x)

∴f(x)在定义域内为奇函数.
②任设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+class="stub"1
x1
-x2-class="stub"1
x2
(x2-x1)(1-x1x2)
x1x2

因为1≤x11,1-x1x20,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.

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