将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10），…每一组的第1个数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{

题目简介

题目详情

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{

}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-

时，求公比q的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）•c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证明：由sn+1（sn+2）=sn（2-sn+1）
得sn-sn+1=snsn+1
所以class="stub"1

sn+1

-class="stub"1

=1
又s1=b1=a1=1
所以数列{class="stub"1

}是首项为1，公差为1的等差数列
所以class="stub"1

=n，即sn=class="stub"1

所以bn=

1，n=1

class="stub"-1

n(n-1)

，n≥2

（II）因为1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有数列{an}的15项
故a18在表中第6行第三列．（12分）
所以，a18=-class="stub"2

=b6q2，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以bn为首项，2为公比的等比数列
所以cn=-class="stub"1

n(n-1)

•2n-1（n≥2，n∈N*）
即Cn=

1，n=1

-class="stub"1

n(n-1)

•2n-1，n≥2

于是n≥2当时那么相减得，Tn=0+（-2）×2+（-3）×22+…+（-n）•2n-1
-Tn=0+2×2+3×22+…+n•2n-1
-2Tn=2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
相减可得，Tn=2×2+22+23+…+2n-1-n•2n-1=（1-n）•2n

上一篇 : {an}为等比数列，若a3=2，a2+a4=20
下一篇 : 设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的实

将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10），…每一组的第1个数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐