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> 数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn
数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn
题目简介
数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn
题目详情
数列
b
n+1
=
1
2
b
n
+
1
4
,且
b
1
=
7
2
,
T
n
为{
b
n
}
的前n项和.
(1)求证:数列
{
b
n
-
1
2
}
是等比数列,并求{b
n
}的通项公式;
(2)如果{b
n
}对任意
n∈
N
*
,不等式
12k
(12+n-2
T
n
)
≥2n-7
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:惠州模拟
答案
(1)证明:对任意n∈N*,都有
b
n+1
=
class="stub"1
2
b
n
+
class="stub"1
4
,所以
b
n+1
-
class="stub"1
2
=
class="stub"1
2
(b
n
-
class="stub"1
2
)
…(1分)
则数列
{
b
n
-
class="stub"1
2
}
成等比数列,首项为
b
1
-
class="stub"1
2
=3
,公比为
class="stub"1
2
…(2分)
所以
b
n
-
class="stub"1
2
=3×
(
class="stub"1
2
)
n-1
,
∴
b
n
=3×
(
class="stub"1
2
)
n-1
+
class="stub"1
2
…(4分)
(2)因为
b
n
=3×
(
class="stub"1
2
)
n-1
+
class="stub"1
2
所以
T
n
=3×
1-
class="stub"1
2
n
1-
class="stub"1
2
+
class="stub"n
2
=6(1-
class="stub"1
2
n
)+
class="stub"n
2
…(6分)
因为不等式
class="stub"12k
(12+n-2
T
n
)
≥2n-7
,化简得
k≥
class="stub"2n-7
2
n
对任意n∈N*恒成立…(7分)
设
c
n
=
class="stub"2n-7
2
n
,则
c
n+1
-
c
n
=
class="stub"9-2n
2
n+1
…(9分)
当n≥5,cn+1≤cn,{cn}为单调递减数列,当1≤n<5,cn+1>cn,{cn}为单调递增数列
∵
c
4
=
class="stub"1
16
,
c
5
=
class="stub"3
32
,∴c4<c5,∴n=5时,cn取得最大值
class="stub"3
32
…(11分)
所以,要使
k≥
class="stub"2n-7
2
n
对任意n∈N*恒成立,
k≥
class="stub"3
32
…(12分)
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已知数列{an},构造一个新数列a1
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在等比数列{an}中,若a2+a3=2,a12
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数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn
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(1)求证:数列{bn-
(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式
答案
则数列{bn-
所以bn-
∴bn=3×(
(2)因为bn=3×(
所以Tn=3×
因为不等式
设cn=
当n≥5,cn+1≤cn,{cn}为单调递减数列,当1≤n<5,cn+1>cn,{cn}为单调递增数列
∵c4=
所以,要使k≥