数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn

题目简介

数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn

题目详情

数列bn+1=
1
2
bn+
1
4
,且b1=
7
2
Tn为{bn}
的前n项和.
(1)求证:数列{bn-
1
2
}
是等比数列,并求{bn}的通项公式;
(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式
12k
(12+n-2Tn)
≥2n-7
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:惠州模拟

答案

(1)证明:对任意n∈N*,都有bn+1=class="stub"1
2
bn+class="stub"1
4
,所以bn+1-class="stub"1
2
=class="stub"1
2
(bn-class="stub"1
2
)
…(1分)
则数列{bn-class="stub"1
2
}
成等比数列,首项为b1-class="stub"1
2
=3
,公比为class="stub"1
2
…(2分)
所以bn-class="stub"1
2
=3×(class="stub"1
2
)
n-1

bn=3×(class="stub"1
2
)
n-1
+class="stub"1
2
…(4分)
(2)因为bn=3×(class="stub"1
2
)
n-1
+class="stub"1
2

所以Tn=3×
1-class="stub"1
2n
1-class="stub"1
2
+class="stub"n
2
=6(1-class="stub"1
2n
)+class="stub"n
2
…(6分)
因为不等式class="stub"12k
(12+n-2Tn)
≥2n-7
,化简得k≥class="stub"2n-7
2n
对任意n∈N*恒成立…(7分)
cn=class="stub"2n-7
2n
,则cn+1-cn=class="stub"9-2n
2n+1
…(9分)
当n≥5,cn+1≤cn,{cn}为单调递减数列,当1≤n<5,cn+1>cn,{cn}为单调递增数列
c4=class="stub"1
16
c5=class="stub"3
32
,∴c4<c5,∴n=5时,cn取得最大值class="stub"3
32
…(11分)
所以,要使k≥class="stub"2n-7
2n
对任意n∈N*恒成立,k≥class="stub"3
32
…(12分)

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