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已知数列{an}满足a1=a，an+1=(4n+6)an+4n+102n+1(n∈N*)．（Ⅰ）试判断数列{an+22n+1}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项an．（Ⅱ）如果a=1

题目简介

已知数列{an}满足a1=a，an+1=(4n+6)an+4n+102n+1(n∈N*)．（Ⅰ）试判断数列{an+22n+1}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项an．（Ⅱ）如果a=1

题目详情

已知数列{an}满足a1=a，an+1=
(4n+6)an+4n+10
2n+1
(n∈N*)．
（Ⅰ）试判断数列{
an+2
2n+1
}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项an．
（Ⅱ）如果a=1时，数列{an}的前n项和为Sn．试求出Sn，并证明
1
S3
+
1
S4
+…+
1
Sn
＜
1
10
（n≥3）．
题型：解答题难度：中档来源：深圳二模

答案

（Ⅰ）∵an+1+2=
(4n+6)an+4n+10
2n+1
+2=
(4n+6)(an+2)
2n+1
，
∴
an+1+2
2n+3
=2•
(an+2)
2n+1
．
令bn=
an+2
2n+1
，则bn+1=2bn．  …2分
∵b1=class="stub"a+2
3
，
∴当a=-2时，b1=0，则bn=0．
∵数列{0}不是等比数列．
∴当a=-2时，数列{
an+2
2n+1
}不是等比数列．…4分
当a≠-2时，b1≠0，则数列{
an+2
2n+1
}是等比数列，且公比为2．
∴bn=b1•2n-1，
即
an+2
2n+1
=class="stub"a+2
3
•2n-1．
解得an=
(a+2)(2n+1)
3
•2n-1-2．      …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，an=（2n+1）•2n-1-2，
Sn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1-2n．
令Tn=3+5•2+7•22+…+（2n+1）•2n-1，…①
则2Tn=3•2+5•22+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，…②
由①-②：-Tn=3+2（2+22+…+2n-1）-（2n+1）•2n
=3+2•
2(1-2n-1)
1-2
-(2n+1)•2n
=（1-2n）•2n-1，
∴Tn=（2n-1）•2n+1，…9分
则Sn=Tn-2n=（2n-1）（2n-1）．             …10分
∵2n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn，
∴当n≥3时，2n≥Cn0+Cn1+Cnn-1+Cnn=2（n+1），则2n-1≥2n+1．…12分
∴Sn≥（2n-1）（2n+1），
则class="stub"1
Sn
≤class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)．…13分
因此，class="stub"1
S3
+class="stub"1
S4
+…+class="stub"1
Sn
≤class="stub"1
2
[(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+(class="stub"1
7
-class="stub"1
9
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(class="stub"1
5
-class="stub"1
2n+1
)＜class="stub"1
10
． …14分．

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