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已知，，数列满足，，．（I）求证：数列是等比数列；（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围．-数学

题目简介

已知，，数列满足，，．（I）求证：数列是等比数列；（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围．-数学

题目详情

已知，，数列满足，
，．
（I）求证：数列是等比数列；
（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（I）证明见答案（II）
（I）∵，，，
∴．
即．
又若an≠1，则an+1≠1，事实上当an≠1时，由知，若an+1=1，则an=1，从而与an≠1矛盾，故an+1≠1．
由此及≠1可知an≠1对任意n∈N都成立．
故对任何，，
所以．
∵，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（II）由，得 
依题意（*）式对任意恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不符合题意．
　　　　　②当t<0时，由，可知（）．
　而当m是偶数时，因此t<0不符合题意．
　　　　　③当t>0时，由（）,
∴ ，∴．（）
　　　　　　设 （），
　　　　　　∵ =,
　　　　　　∴．
　　　　　　∴的最大值为．
　　　　　　所以实数的取值范围是．

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